ME-523 Commande non linéaire

Information générale

Enseignant: Dr. Philippe MULLHAUPT, Chargé de cours, ME C2 391,

tél: 33838

Objectifs: Ce cours introduit les méthodes de base d’analyse et de commande des systèmes non linéaires.

Contenu: Notions générales sur les systèmes non linéaires. Description du comportement dans l’espace de phase. Méthode de l’équivalent harmonique. Analyse de stabilité par la méthode de Lyapunov. Théorie de la passivité. Linéarisation. Notions de géométrie différentielle. Fonction de Lyapunov de commande.

Forme de l’enseignement: Ex cathedra avec exemples et exercices intégrés.

Livres:

Ph. Müllhaupt, Introduction à l’analyse et à la commande des systèmes non linéaires, PPUR, 2009.

 

Khalil, H.K, Nonlinear Systems, Third edition, Prentice Hall, 2002.

Préalables requis: Automatique I et II. 

 

Détails

Introduction:
Le principe de superposition. La représentation d’état. Equilibres isolés multiples. Explosion en temps fini. Limitation du domaine d’attraction. Le pendule simple. L’oscillateur électrique non linéaire. Les cycles limites. Orbites chaotiques. Le pendule chaotique. Le pendule polaire. La grue.

Plan de phase:
Systèmes du second ordre. Construction du portrait de phase. Elimination du temps implicite / explicite. Méthode des isoclines. Oscillateur de Van der Pol. Rappel systèmes linéaires: charactérisation des orbites par les valeures propres. Index des points singuliers. Le théorème de l’index. Le théorème de Poincaré-Bendixson. La condition de Bendixson.

Méthode du premier harmonique:
Hypothèses. Décomposition en harmoniques. Equivalent du premier harmonique. Non-linéarités communes. Saturation. Zone morte. Relais. Hystérèse. Système et régulateur linéaires. Critère de Nyquist. Gain complexe supplémentaire. Critère de Nyquist modifié. Estimation des paramètres du cycle limite. Equivalent indépenant de la fréquence. Fiabilité de l’analyse par le premier harmonique.

Fondements de la théorie de Lyapunov:
Stabilité: définition intuitive. Notion de distance. Stabilité: définition formelle. Stabilité asymptotique. Méthode directe de Lyapunov. Fonction définie positive. Fonction de Lyapunov. Exemple: robot. Théorème de stabilité locale. Stabilité exponentielle. Stabilité globale. Fonction de Lyapunov pour les systèmes linéaires. Stabilité locale et linéarisation. Inconvénients de la méthode indirecte. Théorème d’invariance de LaSalle. Méthode de Krasovskii. Méthode du gradient variable. Instabilité et le théorème de Chetaev.

Théorie de la Passivité:
Intuition. Système statique. Fonction de stockage. Connection parallèle / série / par feedback. Passivité et système linéaires SISO. Système réel positif. Lien entre Lyapunov et système réel positif. Théorème de Kalman-Yakubovich-Popov. Stabilité absolue. Conjecture d’Aizerman. Critère du cercle. Critère de Popov.

Introduction commande non linéaire:
Stabilisation. Poursuite. Linéarisation locale et stabilisation.

Linéarisation:
Linéarisation exacte. Exemple: robot avec joint flexible. Linéarisation entrée-sortie. Exemples. Dynamique interne.

Notion de géométrie différentielle:
Champ de vecteur. Espace dual. Covecteur. Le gradient vu comme un champ de covecteurs. Dérivée de Lie. Crochet de Lie. Difféomorphisme. Le théorème de Frobenius. Famille involutive. Conditions de linéarisation. Retour à l’exemple du robot à joint flexible.

Fonction de Lyapunov de commande:
Stabilisation. Amortissement non linéaire. Backstepping. Commande basée sur la passivité.